​ 摘 要：本文将从数学的角度，使用概率论中的知识和方法，简单分析中国福利彩票中的双色球的中奖概率和返奖率。
​ 关键词：双色球；概率论

中国福利彩票简介

​ 中国福利彩票始于 1987 年，以“团结各界热心社会福利事业的人士，发扬社会主义人道主义精神，筹集社会福利资金，兴办残疾人、老年人、孤儿福利事业和帮助有困难的人”、 即“扶老、助残、救孤、济困”为宗旨[1]。
​ 目前发行的彩票类型众多，其中双色球、福彩 3D、七乐彩为主力销售品种，尤其双色球更为人所知，并为当下中国最热门的彩票品种[2]。

双色球的规则简介

​ 由于游戏规则较为复杂，共有七章三十条，因此只介绍与下文有关的规则[3]。
​ 第二章 投注 第六条 双色球投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，红色球号码区 由 1-33 共三十三个号码组成，蓝色球号码区由 1-16 共十六个号码组成。投注时选择 6 个红色球号码和 1 个蓝色球号码组成一注进行单式投注，每注金额人民币 2 元。
​ 第三章 设奖 第十四条 双色球按当期销售额的 51%、13%和 36%分别计提彩票奖金、彩票发行费和彩票公益金。彩票奖金分为当期奖金和调节基金，其中，49%为当期奖金，2%为调节基金。
​ 第三章 设奖 第十六条 双色球奖级设置分为高奖级和低奖级，一等奖和二等奖为高奖级，三至六等奖为低奖级。当期奖金减去当期低奖级奖金为当期高奖级奖金。各奖级和奖金规定如下：
​ 一等奖：当奖池资金低于 1 亿元时，奖金总额为当期高奖级奖金的 75%与奖池中累积的资金之和，单注奖金 按注均分，单注最高限额封顶 500 万元。当奖池资金高于 1 亿元（含） 时，奖金总额包括两部分，一部分为当期高奖级奖金的 55%与奖池中累积的资金之和，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶 500 万元；另一部分为当期高奖级奖金的 20%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶 500 万元。
​ 二等奖：奖金总额为当期高奖级奖金的 25%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶 500 万元。
​ 三等奖：单注奖金固定为 3000 元。
​ 四等奖：单注奖金固定为 200 元。
​ 五等奖：单注奖金固定为 10 元。
​ 六等奖：单注奖金固定为 5 元。
​ 第三章 中奖 第二十四条
​ 一等奖：投注号码与当期开奖号码全部相同（顺序不限，下同），即中奖； 二等奖：投注号码与当期开奖号码中的 6 个红色球号码相同，即中奖；
​ 三等奖：投注号码与当期开奖号码中的任意 5 个红色球号码和 1 个蓝色球号码相同，即中奖；
​ 四等奖：投注号码与当期开奖号码中的任意 5 个红色球号码相同，或与任意 4 个红色球号码和 1 个蓝色球号码相同，即中奖；
​ 五等奖：投注号码与当期开奖号码中的任意 4 个红色球号码相同，或与任意 3 个红色球号码和 1 个蓝色球号码相同，即中奖；
​ 六等奖：投注号码与当期开奖号码中的 1 个蓝色球号码相同，即中奖。

例题及分析

前提假设

​ 1.投注： 彩民 A 花费 2 元随机购买一注单式投注号码， 设彩民 A 的中奖结果为随机变量 X，X=0 表示未中奖，X=1,2,3,4,5,6 分别表示中一、二、三、四、五、六等奖。
​ 2.设奖：奖池为 9 亿元，总销售额为 3 亿元，共 1.5 亿注（下文用 1.5e8 表示）。这 1.5 亿注是由 1.5 亿彩民， 每人花费 2 元随机购买一注单式投注号码。
​ 3.开奖：摇奖器和球均不做手脚，每次出球被认为是随机事件，是不放回抽样。

理论分析

​ 1.易得，红球中 1-33 号每个号码出现的概率均为 6/33，即 2/11，蓝色球 1-16 号每个号码出现的概率均为 1/16；红球 33 选 6，共有 1107568 种组合方式，蓝球 16 选 1，有16 种情况，因此一共有1107568×16=17721088 种组合方式。蓝球和红球的选取为独立事件。
​ 2.依照游戏规则，经计算得如下分布函数。

​ 3.计算当期低级奖金的期望
​ [ P(X=3)×3000 + P(X=4)×200 + P(X=5)×10 + P(X=6)×5]×1.5e8=48,631,043 元,为方便计算，取 0.4863 亿元。
​ 4.计算当期高级奖金的期望
​ 3×0.49-0.4863=0.9837 亿元；
​ 5.计算一等奖的奖金数额
​ 一等奖的注数期望为： 1.5e8× P(X = 1) =8 注
​ 一等奖的奖金数额期望：
​ 第一部分：min{((0.9837×0.55+9)÷8)亿元,500 万元}=500 万元
​ 第二部分：0.9837×0.2÷8=245.925 万元
​ 因此一等奖的奖金数额期望：为 745.93 万元
​ 6.计算二等奖的奖金数额
​ 二等奖的注数期望为： 1.5e8× P(X = 2) =126 注
​ 二等奖的总奖池期望：0.9837×0.25=2459.25 万
​ 二等奖的奖金数额期望为：2459.25÷126=19.52 万
​ 7.彩民 A 获得的金额期望为：
​ E(X)=745.93 万元×P(X=1)+19.52 万元×P(X=2)+3000 元×P(X=3)+200 元×P(X=4)+10×P(X=5)+5 元×P(X=6)=1.0725 元
​ 返奖率: 1.0725÷2=53.625%
​ 8.计算 E(X^2)和 E^2(X)
​ E(X^2)=745.93 万元×745.93 万元×P(X=1)+19.52 万元×19.52 万元×P(X=2)+3000 元×3000 元×P(X=3)+200 元×200 元× P(X=4)+10 元× 10 元×P(X=5)+5 元× 5 元× P(X=6)=3586141
​ E^2(X)=1.15
​ 9.D(X)=E(X^2)-E^2(X)=35861439.85，可取为 35861440
​ 10.设 1.5 亿彩民为独立同分布，由中心极限定理得，

​ 以上数据说明，1.5 亿彩民想要收回 3 亿 元的成本的概率仅仅 2.81%。对于彩民 A 来说， 他获奖金额期望为 1.0725 元，返奖率 53.625%，低于 100%。

误差分析

​ 返奖率误差：
​ 本文设置的双色球案例返奖率达到了 53.625%，实际生活中却达不到这么高。根据乐彩网统计的数据，可能是受到疫情影响，最近 30 期返奖率为 46.4%，而 2019 年 6-8 月的平均返奖率为 49.4%，仍不足 50%[4]。
​ 原因分析：
​ 1.彩民购买彩票的方式多种多样，比如复式投注、胆拖投注、多倍投注等等，本案例未考虑此类情况。
​ 2 本案例规定彩民完全随机选号码，实际上彩民们并不是完全随机选择他们的号码的，他们可能会登录非官方福彩网，如中彩网、新浪爱彩网等众多网站，看红蓝走势、遗漏统 计、号码分区等多达 30 多种图表，进行分析，同时也会参考专家的选号推荐，导致某几个组合的购买量增加，进而导致每期中一等奖和二等奖的人数差别增大。从近 100 期来看，一等奖获奖注数最少为 1，最多为 48；二等奖注数最少 42 注，最多 366 注[5]。本案例中，一等奖为 8 注，二等奖 126 注，并不能很好的反映出真实的获奖情况。

结语

​ 中国福利彩票多种多样，本文仅以双色球为例，其他彩种分析也可按此步骤进行。对彩民而言，就算中奖概率很低，他们也还是抱着希望，进行购买，因为 2 元钱就有获得500 万元的可能，这还是很诱人的。 彩民们确实为中国社会福利事业贡献自己的一份绵薄之力。

参考文献

[1] 百度百科 中国福利彩票词条 ``
[2] 维基百科 中国福利彩票词条
[3] 中国福利彩票发行管理中心官方网站
[4] 乐彩网返奖率统计数据页面
[5] 新浪爱彩历史开奖信息统计页面